函数的概念
1、函数的定义及概念
①函数的定义：
设是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应，此时我们就能称为从集合到集合的一个函数，记作：
注意：函数的本质含义：
ⅰ.定义域内的任意一个值，必须有且仅有唯一的值与之对应;
ⅱ.特殊性：定义的集合必须是两个非空数集；
ⅲ.任意性：中任意一个数都要考虑到；
ⅳ.唯一性：每一个自变量都在中有唯一的值与之对应；
ⅴ.方向性：
但以我任教多年的经验告诉我，这样来进行介绍很多初学者是领会不了的，导致于后期的学习一塌糊涂，产生很多“个位数大神”，所以我以自己的理解把函数概念翻译成“土话”，让读者能清楚的进行理解.
定义的集合必须是两个非空数集且是什么意思？
这就告诉我们函数中的集合研究的是“数”，并非文字性的集合，所以我们就可以得到：
但并不能理解成集合中的元素是一样多的，但也可以一样多，下面举例说明：
例1.函数中的自变量有无数个值，即集合中有无数个元素，但集合中只有一个元素“1”;
例2.函数中的自变量有无数个值，即集合中有无数个元素，但集合中的元素只能大于或等0，理论上的个数多于的个数，但也是无限个，是不能一一列举出来的;
例3.函数可以理解成的数量是一样的;
例4.函数的定义域要满足大于零，而值域是全体实数，故的个数多于的个数.
对应法则指什么？
对应法则小到指加、减、乘、除、乘方、图像、图表和倒数等;大到对数、指数、三角关系及两种或两种以上的关系的复合等.下面举例说明：
例如：函数表示集合中的元素通过乘一个常数就与集合中的元素建立一一对应关系;
函数表示集合中的元素通过加一个常数就与集合中的元素建立一一对应关系;
函数表示集合中的元素通过加取倒数就与集合中的元素建立一一对应关系;
函数表示集合中的元素通过取以2为底，自身为成指数就与集合中的元素建立一一对应关系;
函数表示集合中的元素通过取以2为底，自身为成真数就与集合中的元素建立一一对应关系;
函数表示集合中的元素通过取直角三角形的对边与斜边之比，自身变成角度（或弧度）就与集合中的元素建立一一对应关系.
一一对应关系指什么？
一一对应关系说明一个只能对应一个在解析式中表示为一但的值确定，值随之确定且只有一个，在图像中对图像上的任意一个点向轴作垂线，此时垂线与函数图像只能有一个交点.下面举例加以说明：
例如：就不能表示成函数，因为时
表示什么意思？
注意：函数一定不是表示而是表示通过与建立相等.比较直观的意思就是：原材料通过加工厂得到产品
所以以后看到函数用或表示都是等价的.
2、函数的有关概念
①函数的定义域、值域：
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
注意：
ⅰ.定义域可以理解成是对函数的限制，是或含有的代数式处于什么位置会受到限制：
分式的分母不等于零；即：
偶次方根的被开方数不小于零；即：
对数式的真数必须大于零；即：
指数、对数式的底必须大于零且不等于；即：
指数为零底不可以等于零；即：
正切函数的角度(或弧度)的终边不能落在轴上;即：
如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集.
总的来说，在所有考函数的知识考点中，只有函数的定义域问题是最简单的.
ⅱ.函数的值域即是函数的取值范围，在这个点中是很复杂的，方法很多，在这里我就不专门展开了，我会为此出一个专门的专题讲解.常见的方面有：
配方法
数形结合
换元法
函数单调性法
分离常数法
基本不等式法
②函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
③函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
注意：函数表示方法的三种方面展开分别为：
ⅰ.列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；
缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系.
如上表，我们很容易看到年份与恩格尔系数之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
ⅱ.图像法
用图象表示两个变量之间的对应关系.
优点：能形象直观地表示函数的变化情况；
缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大.
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
ⅲ.解析式(这里不再展开，我会出一个特别专题)
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
优点：简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可求任意函数值.
缺点：不够形象、看不出图像的变化规律，而且并不是所有函数都有解析式.
求函数解析式的方法很多，例如：
配凑法:由可将改写成关于的表达式，然后以替代便得的解析式．
待定系数法:若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
第一步：确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
第二步：根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
第三步：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
换元法：主要用于解决已知函数的解析式，求函数的解析式的问题.
第一步：先令注意分析的取值范围；
第二步：反解出即用含的代数式表示
第三步：将中的都替换为的表示，可求得的解析式，从而求得
构造方程组法:主要解决已知函数与的方程，求 解析式.
代入法
3、同一个函数
两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数.(缺一不可）
4、分段函数
①定义：在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
②性质：
ⅰ.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
ⅱ.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
区间及相关概念
1、一般区间的表示：
设是两个实数，而且我们规定：这里的实数叫做区间的端点.
在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
2、实数集
可以用区间表示为读作“无穷大”，读作“负无穷大”，读作“正无穷大”．
3、特殊区间的表示
注意：
定义域或值域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号连接.
函数概念在高考中的价值取向
函数是贯穿整个中学数学的一根主线，其内容包括性质和图像。函数概念、定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性是函数性质的重要组成部分，也是高考重点考查的知识。同时，函数的图像主要包括基本初等函数的图像及图像变换，函数知识的外延主要结合在方程（零点）、不等式等方面。
1、基础性与贯穿性
函数是高中数学各章节知识点的交汇点，如与三角函数、数列、不等式等章节有着密切联系。从基础的函数概念、性质，到复杂的图像分析、导数和积分等，函数理论贯穿始终。
2、理论与实际应用的结合
函数不仅是一个数学概念，也是描述现实世界变化的重要工具。在物理、工程、经济学等领域中，函数模型被广泛应用，通过解决实际问题来体现其价值。
3、逻辑推理与抽象思维训练
学习函数能够培养学生的逻辑思维能力和抽象思考能力。通过研究函数的性质、图像以及变化规律，学生可以学会如何从具体实例中提炼出一般性规律。
以下是相关练习题目（有需要的请收藏）