反函数简单的说，用y=f（x）求出x=f（y），比如y=x^2的反函数是x=√y和x=-√y（改变一下就是y=√x和y=-√x）。他们有点像镜像的关系。完整定义大家可以去搜索一下。
如图
可以看出S1=S2.
那么祖暅计算球体积与反函数有什么关系呢？
如果我把上面的y=x^2函数乘以π，那么y=πx^2的原函数就是圆锥体y=1/3 πx^3+C。它的积分就是圆锥体。
那么1区间的反函数y=√(x/π)的积分是什么呢？它的原函数2/3*x^(3/2)/√π+C，在【0-π】如果横切它其实就是圆柱体挖掉里面那个圆锥剩下的那部分。这个等于球体积的一部分。这个很难理解。
我们换一个角度思考。如图
求y=πx^2 ，[0-1]的积分=S1, y=√(x/π)[0-π]的积分=S2
设圆柱体半径和高都是R=1.
如果对这个圆柱体积分就是红色线与xy轴围起来的部分面积π*1 = π*R^3 = S1+S2.
S2=π*R^3 - S1=π*R^3 - 1/3 πR^3 = 2/3 πR^3
球体体积的原理
如果球体这样切割，那么它每个截面半径r = √(k^2-x^2),
它的截面积=πk^2 - πx^2，即圆环的面积
(πk^2是以k为半径的圆柱体的截面积，πx^2就是圆锥体的截面积，所以祖冲之祖暅推断半球体积等于圆柱体挖去圆锥的部分。祖暅原理“幂势既同则积不容异”两个物体相同高度面积相同体积就相等)
如果对它积分就是πk^2*x- （1/3）πx^3
设x=k时
半个球的体积就是 πk^3 - （1/3）πk^3 = （2/3）πk^3。
乘以二，球的体积就是（4/3）πk^3。